የተፃፈው በ: - ቢ.ሲ. Garcia እና WI Zangwill።

በብቃት የንግድ ትምህርት ቤት ውስጥ የአስተዳደራዊ ሳይንስ ፕሮፌሰሮች (ሁለቱም ጡረተኞች)

የተሻሻለው ነሐሴ 18 ፣ 2018 ከ (Garcia and Zangwill [8, 9])።

ቁልፍ ቃላት: የጨዋታ ፅንሰ-ሀሳብ ፣ የእስረኞች አጣብቂኝ ፣ የ Bayesian ፣ ተገዥ ሊሆኑ የሚችሉ እድሎች።

ረቂቅ: Neን ነመንን እና ሞርገንስተን (VNM) ፣ የሚጠበቀውን የፍጆታ መላምት በመጠቀም ፣ የጨዋታውን ንድፈ ሃሳብ መሠረታዊ ቀመር አቅርበዋል ፡፡ ሆኖም እስከዚህ ደረጃ ድረስ ፣ ያ ቀመር ተጨማሪ ግምቶችን ሳያካትት ለመፍታት አስቸጋሪ ነበር ፡፡ ናሽ የተጫዋቾቹ ዕድል አንድ እርምጃ መውሰድ ከመቻል እድሉ ገለልተኛ ሆኖ ገለል ብሎ መገመት ነበረበት ፡፡ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የናሽ ግምቶችን እናስወግዳለን ፣ የተጫዋቾች ስትራቴጂዎች የተለመዱ ዕውቀት ናቸው ብለን ከግምት ውስጥ በማስገባት ከጠቅላላው የ VNM ችግር ጋር ሙሉ በሙሉ ተመጣጣኝ የሆነ ሞዴልን ያፈላልጋሉ ፡፡ የእኛ በቀላሉ ሊፈታ የሚችል ቀመር አንዳንድ ተቃራኒ እና ተቃራኒ ውጤቶችን ያስገኛል ፣ ለምሳሌ ፣ ለእስረኛው ችግር ፣ ለዶሮ ጨዋታ ፣ ለኒውስባክ ፓራክስክስ ፣ ለአደን ማደን እና ሌሎች ብዙ ጨዋታዎችን አንዳንድ ቀላል ችግሮች ያስወግዳል። ለምሳሌ ፣ በእስረኛው ችግር ውስጥ የናሽን የነፃነት እሳቤ በመተው ሞዴላችን እንደሚያሳየው ተጫዋቾቹ የላቀ ክፍያዎችን ማግኘት መቻላቸውን ያሳያል ፣ እናም ይህንንም ለማሳካት በትብብር መጫወት ወይም መግባባት የማይፈልጉ ናቸው ፣ ነገር ግን እንዲሁ ባይስ ቲኦሬም ውስጥ (ሃርኒኒ [10]; ካዳን እና ላኪኪ [11]))። አቀራረባችን የመክፈል ክፍተቱን በሁለት ክፍተቶች ወይም ክልሎች ይከፍላል ፣ የእነሱ አንፃራዊ መጠኑ በእዳዎች ላይ የተመሠረተ ነው። አሁን ፣ አንድ ሰው ግምቱን በትክክል መገመት አያስፈልገውም ፣ ግን በየትኛው ክልል ውስጥ እንደሆነ ብቻ ይወስናል ፡፡ ያልተስተካከለው የእኛ አጠቃላይ መፍትሔ በአumann [1] ስሜት መሠረት የናሽ ሚዛን እንደ ልዩ መፍትሄዎች ይይዛል ፡፡ ለጨዋታ ፅንሰ-ሀሳብ አዲስ መሠረት በመመስረት ፣ ገላጭ ከሆኑት የናሽ መፍትሄዎች ተቃራኒ-ተጨባጭ እስትራቴጂዎች ጥንድ ነው። በሮክ-ወረቀት-አቧራ ጫወታ ጨዋታዎች እና በባር-መጨናነቅ ችግር ላይ እንደምናሳየው ፣ ወደ አጠቃላይ የ M-ሰው ጨዋታዎች እንቀርባለን ፡፡

የውጤቶች ማጠቃለያ።

ከዚህ በታች በተዘረዘሩት ዝርዝሮች እና በግልፅ ክፍያዎች መሠረት አሁን የተወሰኑ ውጤቶችን ጠቅለል አድርገናል ፡፡ ውጤቶቹ ብዙውን ጊዜ አዳዲስ መፍትሄዎችን ስለሚሰጡ እነዚህ ውጤቶች ለማስተማር እና ምርምር የአቀራረብን ዋጋችንን እንደሚያሳዩ እናምናለን።

የማስተባበር ጨዋታ።: The Nash assumption of independence misses the superior Bayesian approach we take. For the payoffs provided below, play the first strategy if you believe that the opponent’s probability of playing its first strategy is at least 1 / 3, else play the second strategy. Nash provides no insights about when to apply which strategy. Also, if the payoffs are changed, our approach provides revised probabilities. Battle of the sexes: Two parties differ on where they should go, but are not allowed to communicate. Both parties obtain a good payoff if they both go to the same choice, since at least they are both together. A given party will get a bonus if they both go to that party’s choice. Neither gets a good payoff if they go different places. Given the payoffs presented below, player A should play its desired strategy if it believes the other player will also select A’s desired choice with probability of at least 33%. In contrast, Nash provides three equilibria without any insight into which to play when and no analysis of the probabilities. Matching pennies: Two players, Even and Odd, simultaneously reveal a penny. If the pennies match, Even keeps both pennies; otherwise Odd keeps both pennies. The unique Nash equilibrium for this zero-sum game is for both players to play randomly. Given the payoffs below, Even should play heads if it believes that Odd will play heads with probability of at least 50%. On the other hand, Odd should play heads if it believes that Even will play heads with probability of at most 50%. Chicken game: Two cars are speeding towards each other and about to have a head-on crash. Nash suggests one car should swerve and the other go straight, but offers little insight into which should swerve. Given the payoffs below, our approach suggests you swerve if you believe that the opponent will swerve with probability of at most 90%, else go straight. Observe here that both players swerving (or both going straight) is not a Nash equilibrium but that both players swerving (or both going straight) in the expectation that the opponent will go straight (or swerve) is an equilibrium scenario. Also, if the payoffs are changed, our approach provides updated probabilities. Arms Race: each country initially stockpiles arms lest it be attacked. But as demonstrated below, diminishing returns on stockpiling arms materialize, opening an opportunity for a peace treaty. Nash does not identify the opportunity for the peace treaty. Stag hunt: hunt stag if you believe that the opponent will hunt stag with probability at least 50%, else hunt hare. (The pure Nash equilibria are for both to hunt stag, or for both to hunt hare). Newcomb’s problem: if Newcomb’s problem is posed as a prisoner’s dilemma, the solution to Newcomb’s problem can be arrived at in two ways: as the non-cooperative Nash equilibrium using the dominance principle, or as a cooperative solution using the expected utility hypothesis. Rock-paper-scissors game: The Nash equilibrium is for you to play a 3-sided die randomly. What appears to be a new strategy for this ancient game is for you to play rock if you believe that your opponent will play paper with probability of at most 33% and scissors with probability of at least 33%; to play paper if you believe that your opponent will play scissors with probability of at most 33% and rock with probability of at least 33%; else to play scissors. (Our approach can help you if say, you have data on your opponent’s previous plays of the game.) Bar-crowding game has 3 friends A, B, and C: Anyone who goes to the bar alone gets nothing – staying home is a better choice. If two friends go to the bar, that is the best option. If all three go, the bar throws all three out. The Nash equilibria are for all to stay home, or for all to play their first strategy with probability equal to 33%. But if you have any insight into your friends and can estimate the Bayesian probabilities of their behavior, our strategy can help.

እኛ እንዲሁ ወደ ሰው-ሰው ጨዋታ እናቀርባለን እንዲሁም ተመሳሳይ ግንዛቤዎችን እናገኛለን። ለምሳሌ ፣ ለጠቅላላው የ 2- ሰው ጨዋታዎች እና ለጠቅላላ የ 3 ሰዎች x 2 ስትራቴጂካዊ ጨዋታዎች የተሟላ መፍትሔ እናሳያለን።

የሚጠበቀው የመገልገያ መላምት።

በ 2- ሰው ጨዋታ ውስጥ ተጫዋቾች A እና B የ 2 ስልቶች እንዲኖራቸው ይፍቀዱላቸው: A1 ወይም A2 ለተጫዋች ኤ ፣ እና B1 ወይም B2 ለተጫዋች ቢ

የሚጠበቀው የፍጆታ ጽንሰ-ሐሳብ መሠረት vonን Neumann - የሞርገንstern የፍጆታ ንድፈ (vonን Neumann እና Morgenstern [20]) ነው ፣ Aij እና Bij በተከታታይ ለተጫዋቾች ኤ እና ቢ በቅደም ተከተል ከሆነ ተጫዋቹ ኤ እና ቢ ተጫዋች ቢ ቢ ቢ ይጫወታል ፣ ፣ j = 1 ወይም 2። የተጠበቀው የመገልገያ መላምት ሀ እና B ተጫዋቾች የሚጠበቀውን የክፍያ ማበረታቻን1 ከፍ ማድረግ አለባቸው ይላል-

ፒኤ (Ai እና Bj) ተጫዋች ሲሆን ሀ ሀ Ai እና B ይጫወታል ቢባል እና በተመሳሳይም ለተጫዋች ቢ

ሁኔታዊ ሊሆኑ የሚችሉ ነገሮች።[1].

ለእኛ አቀራረብ ፣ እኛ። አስቀምጥ የተጫዋቾች እድሎች እርስ በእርስ ገለልተኛ ናቸው ብለው የናሽ ግምት። ይህ የእኛ ችግር (1) የበለጠ አጠቃላይ እንዲሆን እና የሚጠበቀውን የመላምት መላምት የሚያሟሉ ተጨማሪ መፍትሄዎችን ለማግኘት ያስችለዋል።

EP (A | Ai) እና EP (B | Bj) የሚጠበቁ ክፍያዎች ይሁኑ ፡፡[2],[3] የ A እና B በቅደም ተከተል A እና B ቢ ተጫወቶች Bj ፣ ለ i ፣ j = 1 ፣ 2

በመጀመር እንጀምር ፡፡ የመጀመሪያ ደረጃ “Bayesian” የጨዋታዎች ቲዎሪ። ለ VNM ቀመር ያለንን አቀራረብ እኩልነት ያሳያል ፣

ቴዎሬም 1[5]. ከታች ያሉት ችግሮች (3) ከችግሮች ጋር እኩል ናቸው (1)[6]:

ማረጋገጫ ፡፡ በባኦስ ቲዎሪ ፣

ከዚያ,

ከፍተኛው።[7] ከላይ ካለው እኩልታ PP (A1) = 1 (ማለትም ፣ የጨዋታ ስትራቴጂ A1) EP (A | A1) ≥ EP (A | A2) ፣ ወይም pA (A1) = 0 (ማለትም ፣ የጨዋታ ስልት A2) ከሆነ EP ( A | A1) ኢፒ (A | A2) ፡፡ ስለሆነም ፣ (3) ለተጫዋች ሀ. ይይዛል ተመሳሳይ ክርክር ለተጫዋች BQED ፡፡

VNM ክልሎች።

የ VNM ክልሎችን A1 እና A2 convex polytopes ን ይግለጹ-

ከዚህ በታች እንደሚታየው ፣ ቢ በክልል A1 ውስጥ ይሆናል ብሎ የሚጠብቅ ከሆነ A1 ስትራቴጂውን መጫወት አለበት ፡፡ ያለበለዚያ ኤ A2 መጫወት አለበት ፡፡ የእኩልነት መስመር።

የሁለቱን ክልሎች የመገኘት እድልን በመለየት ሁኔታውን ለመተንተን በዓይን የሚረዳ መንገድ ይሰጣል ፡፡[8].

የክልሎች ጠቀሜታ-ሁለቱ ክልሎች በተግባራዊነት አስፈላጊ ናቸው ፣ እንደአሁኑ አንድ ሰው ግምቱን በትክክል መገመት አያስፈልገውም ፣ ግን ከሁለቱ ክልሎች ውስጥ የትኛው እንደሆነ ብቻ ይወስናል ፡፡ በተከታታይ ፣ የቀደመ ይሁንታ በአንድ ክልል ውስጥ ሊኖር እንደሚችል ይስተዋላል ፡፡ ፣ እና የዚያን ክልል መለያ ተገቢውን የጨዋታውን ጨዋታ ለመጠቆም በቂ መረጃ ነው። ለምሳሌ ፣ ክልል A1 ከሌላው እጅግ በጣም ትልቅ ነው እንበል። ስለሆነም ምናልባት በዚያ ክልል A1 ውስጥ ሊሆን ይችላል ፡፡ ይህ ተጫዋች ኤ A1 ን የሚጫወት አስገዳጅ መረጃ ይሰጣል።

በተመሳሳይ ሁኔታ ለ

የ VNM ክልሎች በተጫዋቾቹ የቀደመ ይሁንታ ስርጭት ላይ ጥገኛ ናቸው ፣ ብዙውን ጊዜ በቀዳሚዎቹ (ጂንስ [13] ፣ ሃርናኒ [10] ፣ ካዳን እና ላኪkey [11])] በመባል ይታወቃሉ ፣ እነዚህም የተጫዋቾችን የችግር ማሰራጨት የእምነት መግለጫ ናቸው ተቃዋሚዎቻቸው ፡፡ [9]

Corollary 2. የተሰጠው (3) ፣ የአጫዋች ስትራቴጂ A1 ከሆነ እና ተጫዋቹ ቢ በ VNM ክልል A1 ውስጥ ይሆናል ብሎ የሚጠብቅ ከሆነ ብቻ። ሌላ ፣ የጨዋታ ስልት A2። በተመሳሳይ ፣ B የስትራቴጂ B1 ተጫዋች ኤን በ VNM ክልል B1 ውስጥ ይሆናል ብሎ የሚጠብቅ ከሆነ እና ብቻ። ሌላ ፣ ቢ ይጫወታል ስትራቴጂ B2።

ማረጋገጫ ፡፡ EP (A | A1) ≥ EP (A | A2) ከሆነ እና A1 ከሆነ ብቻ1 ፒኤ (B1 | A1) + A12 ፒኤ (B2 | A1) ≥ A21 ፒኤ (B1 | A2) + A22 ፒኤ (B2 | A2) ከሆነ እና ብቻ ከሆነ (A11 - A12) pA (B1 | A1) + (A21 - A22) pA (B2 | A2) + A12 - A21 ≥ 0.

በተመሳሳይ ፣ EP (B | B1) ≥ EP (B | B2) እና B1 ከሆነ ብቻ1 pB (A1 | B1) + B21 pB (A2 | B1) ≥ B12 pB (A1 | B2)

+ B22 pB (A2 | B2) ከሆነ እና ብቻ ከሆነ (B11 - B21) pB (A1 | B1) + (B12 - B22) pB (A2 | B2) + B21 - B12 ≥ 0. QED

ከክልሎች 1 እና Corollary 2 ፣ ለክልሎች (5) እና (7) ላሉ ነጥቦች ፣ የሚጠበቀው የመገልገያ መላምት ይይዛል ፣ ማለትም ፣ VNM ክልሎች አጠቃላይ የ 2- ሰው ጨዋታ አጠቃላይ መፍትሄን ይገልጻሉ።[10].

ናሽ ሚዛን።

የተጫዋቾቹ ግምቶች እርስ በእርስ ገለልተኛ ከሆኑ የ VNM ክልሎች ቀለል ለማድረግ ለ-

ፕሮፖዛል 3. አንድ የናሽ ሚዛን (ፒ (A1) ፣ ፒ (B1)) በቅደም ተከተል በ VNM ክልል Ai እና VNM ክልል Bj ፣ ለአንዳንድ i ፣ j = 1 ፣ 2 ነው እንበል። ከዚያ ፣ ተጫዋች ሀ ስትራቴጂ አይ ይጫወታል እና ተጫዋች ለ ስትራቴጂ ይጫወታል ፡፡

ቢ.

ማረጋገጫ ፡፡ የናሽ ተመጣጣኝነት ችግር ችግር (1) ሲሆን ፣ ፒኤ (አይ እና ቢጂ) = pB (Ai እና Bj) = p (Ai) p (Bj) ፣ ወይም ችግር (3) ፣ pA (Bj | Ai) = p (Bj) ) እና pB (Ai | Bj) = p (Ai) ፣ ለ i ፣ j = 1 ፣ 2። ስለዚህ ፣ Corollary 2 ይይዛል ፣ VNM ክልሎች በ (8) ፣ በ pA (B1) = p (B1) እና pB (A1) = p (A1) ይገለጻል። QED

የተመጣጠነ ሂሳብ እኩልታዎች ያስታውሱ።

ለማንኛውም ጨዋታ አጠቃላይ መፍትሄን በመስጠት የ VNM ክልሎችን ለየ ፡፡ ከዚህ በታች ባለው ሠንጠረዥ ላይ እንደምንመለከተው ፣ pB (A1) = p (A1) እና pA (B1) = p (B1) እና pA (B11) = p (BXNUMX) ፣ እነዚህ የተመጣጠነ እኩልታዎች እኩል ናቸው ፡፡

ፕሮፖዛል 4. ማንኛውንም ጨዋታ ተሰጥቷል A = [[A11, A1]።2] ፣ [A21 ፣ A2]።2]] እና B = [[B11 ፣ B1]2] ፣ [B21 ፣ B2]።2]] ፣ የጨዋታው ናሽ ሚዛን ከሚመለከተው የሠንጠረዥ 112 ረድፍ ይሰላል።

ማረጋገጫ ፡፡ ያንን ልብ ይበሉ (i ፣ j) sgn (2i - 1) * (A11 - A21)> 0 and sgn (2j - 1) * (B11 - B12)> 0 ፣ if i, j = 0, 1. ይህንን እውነታ በመጠቀም በሠንጠረዥ 1 ውስጥ ለእያንዳንዱ ረድፍ እኛ ንፁህ ናሽ ሚዛን ያላቸውን ሁሉንም ጥንድ (i ፣ j) እንዘረዝራለን ፡፡

በመጨረሻም ፣ በ (9) የተቀላቀለው የናሽ ተመጣጣኝነት እንዲሆን ለተገለጹት ጥንድ (ሀ ፣ ለ) ‹0‹ a ‹1 and 0‹ b <1› ን ብቻ ማሳየት አለብን ፡፡ ግን ለረድፎች 6 ፣ 7 ፣ 10 እና 11 ሠንጠረዥ 1 ፣ የ a ፣ 1 ዲታዳታ እና ካሳ ፣ 1 - a ፣ b ወይም 1 - ለ ሁለቱም አዎንታዊ ወይንም ሁለቱም አሉታዊ ናቸው ፡፡ ስለዚህ ሀ ፣ 1 - a, b, 0 - b ሁሉም ከ XNUMX የበለጡ ናቸው ፡፡ QED

የተዘረዘረው Dominance ምሳሌ።[13].

A = [[2, 2], [3, 1]] and B = [[0, 1], [0, 2]]]. “A1 & B2” ን የ “ናሽ ሚዛን” ነው ፡፡

ፕሮፖዛል 5. የተሰጠው A = [[2, 2], [3, 1]] and B = [[0, 1], [0, 2]]], ከዚያ ተጫዋች ሀ A1 ን ይጫወታል እና ተጫዋች ቢ B2 ን ይጫወታል።

ማረጋገጫ ፡፡ VNM ክልል A1 ነው-ፒኤ (B2 | A2) ≥ 1 / 2, እና VNM ክልል B2 ነው-pB (A2 | B2) ≥ -1. ስለሆነም ተጫዋች ቢ B2 ን ይጫወታል ፡፡ ተጫዋች ኤ ደግሞም ይህ እንደ ሆነ ያውቀዋል ፣ ስለሆነም ፒኤ (B2 | A2) = 1። ከ pA (B2 | A2) = 1 በ VNM ክልል A1 ውስጥ አንድ ነጥብ ስለሆነ ፣ ተጫዋች ሀ A1 ይጫወታል ፡፡ QED

የማስተባበር ምሳሌ።

A = B = [[2, 0], [0, 1]]. የ 3 ናሽ ሚዛን ነጥቦች (“A1 & B1”) ፣ “A2 & B2 ን ይጫወቱ” እና “A1 (ወይም B1)” በ “1 / 3” ይጫወቱ። VNM ክልል A1 ነው-‹2pA (B1 | A1) ≥ pA (B2 | A2) እና VNM region B1 is: 2pB (A1 | B1) ≥ pB (A2 | B2). እነዚህን VNM ክልሎች በእይታ በመተንተን ፣ A እና B በቅደም ተከተል A1 እና B1 ስትራቴጂዎችን ይመርጣሉ ፡፡

ፕሮፖዛል 6. A = B = [[2, 0], [0, 1]] ”ከተሰጡት ተጨዋቾች ተጋላጭነት ከሁለቱም ገለልተኛ ከሆኑ ከተቃዋሚዎቹ የመጀመሪያ ስትራቴጂውን የመጫወት ዕድል ቢያንስ 1 / 3, ሌላውን ሁለተኛውን ስልት ይጫወቱ.

ማረጋገጫ ፡፡ VNM ክልል A1 ነው-ፒኤኤ (B1) ≥ 1 / 3 እና VNM ክልል B1 ነው-pB (A1) ≥ 1 / 3 ነው ፡፡ QED

የጾታ ሰልፍ ጦርነት

A = [[3, 1], [1, 2]] and B = [[2, 1], [1, 3]]]. የ 3 ናሽ ሚዛን ነጥቦች አሉ “A1 & B1” ፣ “A2 & B2 ን ይጫወቱ” እና “A1” በተልታ 2 / 3 ይጫወቱ ፣ B1 ን በተዛማጅ 1 / 3 ”ይጫወቱ። VNM ክልል A1 ነው-‹2pA (B1 | A1) ≥ pA (B2 | A2) እና VNM region B1 is: pB (A1 | B1) ≥ 2pB (A2 | B2). ሀ A1 ን ይመርጣል B ደግሞ ይመርጣል B2።

ፕሮፖዛል 7. ከተሰጡት ሀ = [[3 ፣ 1] ፣ [1, 2]] and B = [[2, 1], [1, 3]]] ከተሰጣቸው ፣ የተጫዋቾቹ ግምቶች እርስ በእርስ ገለልተኛ ከሆኑ ፣ እንግዲያውስ አ.ሲ. ) ≥ 1 / 1, ሌላ A1 ን ይጫወቱ; ፒቢ (A3) ≥ 2 / 1 ከሆነ B1 ን ይጫወቱ ፣ ሌላ B2 ን ይጫወቱ።

ማረጋገጫ ፡፡ የ VNM ክልል A1 ነው-ፒኤ (B1) ≥ 1 / 3 እና VNM ክልል B1 ነው-pB (A1) ≥ 2 / 3 ነው ፡፡ QED

የተጣጣሙ ፔኒዎችን ምሳሌ.

A = [[1, -1], [-1, 1]] and B = [[-1, 1], [1, -1]]. ይህ ዜሮ ድምር ጨዋታ የተቀናጀ የናሽ ሚዛን አለው-“A1 ን ከ yiwuwa 1 / 2 ጋር ይጫወቱ ፣ B1 ን ይሆን ዘንድ በ 1 / 2” ይጫወቱ።

ፕሮፖዛል 8. ከተሰጡት ሀ = [[1 ፣ -1] ፣ [-1 ፣ 1]] እና B = [--1, 1] ፣ [1, -1]] ተሰጥቷቸው A1 ፒኤን (B1) ≥ 1 / 2 ከሆነ ሌላ A2 ን ይጫወቱ; ፒቢ (A1) ከሆነ B1 ን አጫውት 1 / 2 ፣ ሌላ B2 ን ይጫወቱ።[14].

ማረጋገጫ ፡፡ የ VNM ክልል A1 ነው-ፒኤኤ (B1) ≥ 1 / 2 እና VNM ክልል B1 ነው-pB (A1) 1 / 2. QED

የዶሮ ጨዋታ ምሳሌ (የተጠቆመ [19])።

A = [[0, -1], [1, -10]] and B = [[0, 1], [-1, -10]). የናሽ ሚዛን “A1 (swerve) & B2 (ቀጥ ብለው ይሂዱ)” ፣ “A2 (ቀጥ ብለው ይሂዱ) እና B1 (ስዋፕ)” እና “A1 (B1) with yiwuwa 0.9” ናቸው።

ፕሮፖዛል 9. በዶሮ ጨዋታ ውስጥ የተጫዋቾቹ ዕድል በእኩልነት ገለልተኛ ከሆነ እንግዲያው ተቃዋሚው ቢበዛ በ 90% ይሁንታ ይለወጣል ብለው ካመኑ ወደ ሌላ ይሂዱ ፡፡

ማረጋገጫ ፡፡ የ VNM ክልል A1 ነው-ፒኤን (B1) + 11pA (B2) ≥ 2, ወይም pA (B1) ≤ 9 / 10 ነው ፡፡ በተመሳሳይም የ VNM ክልል B1 ነው-pB (A1) ≤ 9 / 10. QED

የእርስዎ ተቃዋሚ ለመቀላቀል በጣም ከፍተኛ ቅንዓት (ቢያንስ 90%) ካሳየ ቀጥታ መሄድ እንዳለብዎ ያስተውሉ።

ተመራጭ ሁኔታ-ተጫዋቾቹ ቀጥ ብለው ከመሄድ ይልቅ የመጠምዘዝ ዕድላቸው ከፍተኛ ነው ፡፡

የዶሮ ሁኔታ-ለምሳሌ ፒኤ (B1) = pB (A1) = 0 እንበል ፡፡ ሁለቱም ተጫዋቾች ሌላኛው ተጫዋች ቀጥ ብሎ እንዲሄድ ይጠብቃሉ ፡፡ ሁለቱም ይወገዳሉ።

የአደጋ ጊዜ ሁኔታ-ፒኤን (B1) = pB (A1) = 1 እንበል። ሁለቱም ተጫዋቾች ሌላኛው ተጫዋች ይቀልጣል ብለው ይጠብቃሉ። ሁለቱም ቀጥ ይላሉ ፡፡[15].

የናሽ ሚዛናዊ ሁኔታ-pA (B1) = 1 - pB (A1) ፣ እና pB (A1) = 0 or 1 እንበል። ሌላኛው ተጫዋች ቀጥ ብሎ እንዲሄድ የሚፈልግ ተጫዋች ይቀየራል ፣ እና ሌላውን ተጫዋች ስዋውት የሚጠብቀው ተጫዋች ቀጥ ብሎ ይሄዳል።

የጦር መሣሪያዎች ዘር ምሳሌ።

በኤክስpositionርኤክስ ፕሮጄክት ውስጥ ኤክስ [[9, -x] ፣ [0, -1x]]] ፣ B = [[10 ፣ 0] ፣ [-y, -1y]] ፣ ለ x ፣ y ≥ 10። A0 ወይም B1 “ሰላም ይፈልጉ” እና A1 ወይም B2 “የኑክሌር ጥቃት” ይሁኑ ፡፡ እሴቶች x እና y በቅደም ተከተል የ B እና A እጆችን ክምችት ያመለክታሉ።

ሀገር ቢ ጥቃቶች ከ 1 / (9x + 1) የሚበልጡ ከሆነ ሀገርን ሰላም ይፈልጋል ፡፡ ያለበለዚያ ጥቃቶች። የመገጣጠም ይሁንታ pA (B1) = 1 / (9x + 1) በፍጥነት ይወርዳል ፣ ለምሳሌ ፣ ፒኤኤ (B1) = 1 / 2 በ x = 1 / 9 ፣ ግን ብዙም ሳይቆይ በሚያስደንቅ ሁኔታ ብልጭ ድርግም ማለት B ለ መጀመሪያ በፍጥነት ማከማቸት አለበት ፣ ግን እንደ ኩርባው ፍንጣጤዎች ፣ ቢን ለማከማቸት ለ B ብዙም ፋይዳ የለውም ፡፡

እና በተመሳሳይም ለሀገር ቢ

ለማጠቃለል ያህል እያንዳንዱ ሀገር ጥቃት እንዳይሰነዘር መጀመሪያ ላይ መሳሪያ ይይዛሉ ፡፡ ነገር ግን የታጠቀ ክንዶች በፍጥነት እየቀነሱ የሰላም ስምምነት ለመፈለግ እድልን ይከፍታሉ ፡፡

እንደ ምሳሌ ፣ የአለም አቀፍ የኑክሌር ክምችት ክምችት 2018 ን ግምት ውስጥ ያስገቡ ፡፡[16] ሰንጠረዥ 2።

ከላይ ባሉት ክፍያዎች እና ሠንጠረዥ 2 መሠረት ምክንያታዊ ሰሜን ኮሪያ ከአሜሪካ እና ከሩሲያ ጋር የሰላም ስምምነት መፈለግ ይኖርባታል።

Skyrms [16])።

A = [[4, 1], [3, 2]] and B = [[4, 3], [1, 2]]]. የናሽ ሚዛን “A1 (Stag) & B1 (Stag)” ፣ “A2 (Hare) & B2 (Hare)” እና “A1 (B1)” በ “XXXXX” እና “A0.5 (BXNUMX)” ይጫወታሉ።

ፕሮፖዛል 10. በአደገኛ አዳኝ ውስጥ ፣ የተጫዋቾቹ ዕድል በእኩልነት ገለልተኛ ከሆነ ፣ እንግዲያው ተቃዋሚው ቢያንስ የ 50% ይሁንታ ካለው ተጋላጭነቱን እንደሚያደንቅ ካመኑ አዳኝ አዳኙን ያርፉ ፡፡

ማረጋገጫ ፡፡ የ VNM ክልል A1 ነው-3pA (B1) + pA (B2) ≥ 2, or pA (B1) ≥ 1 / 2. በተመሳሳይም የ VNM ክልል B1 ነው-pB (A1) ≥ 1 / 2. QED

የእስረኞች ዲሊማ።[17].

A12 ‹A22‹ A11 ‹A21› እና B ለ ከኤን.ዲ.ሲ.ተ.ኤ. A11 ‹A21 እና A12‹ A22 ›ድረስ ፣ የአብነት መርህ አጠቃቀሙ የናሽ ሚዛን ይሰጣል ፣ ማለትም የትብብር ያልሆነ መፍትሔው“ A2 (ጉድለት ይጫወታል) ” እና B2 (ጉድለት) ”። ግን ከ A22 ‹A11 ፣ A እና B› ሁለቱንም የትብብር መፍትሔውን የሚጫወቱ ከሆነ “A1 (ዝምታ) እና B1 (ዝም) ይጫወታሉ” ፡፡

ፕሮፖዛል 11. በእስረኛው አጣብቂኝ ውስጥ ፣ የተጫዋቾቹ ዕድል በእኩልነት ገለልተኛ ከሆነ ተጫዋቾቹ በትብብር ባልተጫወቱ ይጫወታሉ ፡፡[18].

ማረጋገጫ ፡፡ የግራ እጅዎን የ VNM ክልል A1 ይመልከቱ

(A11 - A12 - A21 + A22) pA(B1) + A12 - A22.

A11 - A12 - A21 + A22 ≤ 0 ፣ ከዚያ (A11 - A12 - A21 + A22) pA(B1) + A12 - A22 ≤ A12 - A22 <0. በሌላ በኩል ፣ A11 - A12 - A21 + A22> 0 ፣ ከዚያ (A11 - A12 - A21 + A22) pA(B1) + A12 - A22 ≤ (A11 - A12 - A21 + A22) + A12 - A22 = A11 - A21 <0. ስለዚህ ለማንኛውም ለማንኛውም ተጫዋች ኤ ፣ VNM ክልል A1 ባዶ ነው ፣ ስለሆነም ስትራቴጂውን 2 መጫወት አለበት ፡፡

በተመሳሳይም ተጫዋች ቢ ስትራቴጂ 2 መጫወት አለበት ፡፡ QED

መግለጫው ‹11› በግልፅ ያሳያል የነፃነት ግምት ወደ ትብብር-ባልሆነው መፍትሄ እንደሚገድበን በግልጽ ያሳያል ፡፡

ክላሲካዊ የእስር ቤት ደላላ ምሳሌ ፡፡

በጥንታዊው እስረኛ አጣብቂኝ ውስጥ A = [[-1, -3], [0, -2]] and B = [[-1, 0], [-3, -2]].

ፕሮፖዛል 12. በጥንታዊው እስረኛ አጣብቂኝ ውስጥ ፣ የተጫዋቾቹ ቅድሚያ የሚሰጡት ከሆነ ፒአ (B1 | A1) + ፒኤ (B2 | A2) ≥ 3 / 2 ፣ pB (A1 | B1) + pB (A2 | B2) ≥ 3 / 2, ከዚያ ተጫዋቾቹ የትብብር መፍትሔውን ይጫወታሉ19።

ማረጋገጫ ፡፡ የ VNM ክልል A1 ነው-ፒኤኤ (B1 | A1) + pA (B2 | A2) ≥ 3 / 2, እና የ VNM ክልል B1 ነው-pB (A1 | B1) + pB (A2 | B2) ≥ 3 / 2. ስለሆነም ለተሰጡት ቀዳሚዎች ፣ ሀ እና ለ የትብብር መፍትሔ መጫወት አለባቸው ፡፡ QED

በመተባበር / 12 ውስጥ ፣ የህብረቱን መፍትሄ ለመጫወት የሚያስፈልገውን ከፍተኛ አሞሌ ልብ ይበሉ ፡፡ ተጫዋቾቹ ትብብር ያልሆነውን መፍትሔ ለመጫወት ይመርጣሉ ፡፡

የናሽ አቀራረብ የሕብረት ሥራ ስትራቴጂውን መጫወት ከግምት ውስጥ የማይገባበት ሁኔታ ፡፡

A11 - A12 = A21 - A22, A2 ያለበትን እስረኛውን ችግር ግምት ውስጥ ያስገቡ ፡፡1 = A11 + ሜ እና A2።2 = A11 - M ፣ m> 0 ትንሽ እና M> 0 በጣም ትልቅ ነው። ለምሳሌ ፣ A = [[100, -3], [101, -2]]]. የተጫዋቾች እድሎች እርስ በእርስ ገለልተኛ ከሆኑ ከአጫዋቾች ትብብር ውጭ በሆነ ሁኔታ እንደሚጫወቱ ከፕሮግራሙ 11 አስታውስ።

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ተጨዋቾቹ 1 የሚጫወቱ ከሆነ ሌላኛው ተጫዋች ደግሞ 2 የሚጫወትበት ዕድል ትልቅ ኪሳራ ስለሚፈጥር ተጫዋቾቹ ‹2› ን የመጫወት ስትራቴጂን እንኳን አያስቡም ብሎ ሞኝነት ነው ፡፡ በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የናሽ አቀራረብ ለመጫወቱ ግልፅ የሆነ መፍትሔ ቢኖርም እንኳን የሕብረቱን መፍትሔ መጫወቱን ከግምት ውስጥ አልገባም - በዚህ ረገድ በጣም አስፈላጊ ነጥብ ፣ የገቢያ ብልሽቶች በአጠቃላይ የኢኮኖሚ ኢኮኖሚያዊ ሚዛን ሞዴሎች ላይ የተደረጉ ውይይቶች ፡፡

በሌላ በኩል ፣ የሚቀጥለው ሃሳብ እንደሚያሳየው ፣ የነፃነት ሃሳብን በማጥፋት የእኛ አቀራረብ ከህብረት-ነክ መፍትሔ ይልቅ የትብብር መፍትሔውን ይጫወታል ፡፡

ለጥቁር እስረኛው ግራ መጋባት የጥቁር መስመር ግድየለሽነት መስመር ነው ፡፡ አንድ ተጫዋች በክልል ውስጥ ለመጫወት እድሉ ከፍተኛ ስላልሆነ አንድ ተጫዋች የ 2 ስትራቴጂ የመጫወት እድሉ ከፍተኛ ነው።

1.

ለዚህ እስረኛው አጣብቂኝ ሁኔታ አረንጓዴው መስመር ግድየለሽነት መስመር ነው (PA (B1 | A1) + pA (B2 | A2) = 1 + m / (M + m) እዚህ ፣ ለስትራቴጂ 1 ይሁንታ ያለው ስፋት መጠን ለስትራቴጂ 2 ማለት ይቻላል። የእኛ አካሄድ ተጫዋቾችን የመጫወት ስትራቴጂን 1 እንዲያስቡ ይመክራቸዋል ፡፡

ፕሮፖዛል 13. A11 - A12 = A21 - A22, A21 = A11 + ሜ እና A2።2 = A11 - M ፣ m> 0 ትንሽ እና M> 0 በጣም ትልቅ ፣ ተጫዋቾች ሀ እና B የትብብር መፍትሔውን ይጫወታሉ20።

  • ስለዚህ ተጫዋቾች ትብብር ያልሆነውን መፍትሔ አይጫወቱም ፡፡
  • በአሁኑ ወቅት በትብብር መፍትሄው ላይ ግምቶች ተጨመሩ ፣ ለምሳሌ ፣ የታሰረ ምክንያታዊነት ፣ ያልተሟላ መረጃ (አመንን እና ማሳችለር [2] ፣ Acevedo እና Krueger [4]) ፣ ዴይሊ የ “A ይነት” መገጣጠሚያዎች ይሆንታዎች pA (Ai እና Bj) ፣ ፒኤኤ (A1 እና B1) ከ ‹1› ቅርብ መሆን አለባቸው ይህ የሆነበት ምክንያት ሀ እና B የመክፈያ ክፍሎቻቸው በጣም ከፍ ያሉ እና ከሜት በታች የሆኑ አሃዶች ብቻ የሆኑ የ 1 ስትራቴጂካዊ ጨዋታ የሚጫወቱ ሊሆኑ ስለሚችሉ ነው ፡፡

ስለዚህ ፣ ፒኤኤ (B1 | A1) = pA (A1 እና B1) / pA (A1) እንዲሁም ከ 1 አጠገብ መሆን አለባቸው ፡፡

ሀ በተጨማሪም ፒኤ (A2 እና B2) ፒኤኤ (A2 እና B1) ሀ ለ ስትራቴጂ 2 ከሆነ የሚጫወተው ስትራቴጂ 2 ነው ፡፡ ስለሆነም ፒኤ (B2 | A2) = pA (A2 እና B2) / (pA (A2 እና B1)) + pA (A2 እና B2)) 1 / 2. በ VNM ክልል A1 ውስጥ በበቂ ሁኔታ የበይነመረብ 1 ን በመጠቀም ይደመድማል። በተመሳሳይም ቢ እስትራቴጂን 1 ይጫወታል ፡፡ QED

የኒውስቦርድ ፓራዶክስ እንደ የእስረኞች ዲሊማ ስሪት።

በታዋቂው የኒውስቢክ ፓራዶክስ (ወሮፋ እና ቤንፎርድ [21]) ውስጥ አንድ ተተኪ ለ ፣ ተጫዋች ሀ እና አንድ ሳጥን X አለ ፡፡ ተጫዋቹ ሀ የቦክስ ኤክስ ወይም የ ‹X› ዶላር እና የ $ 1,000 ን የመምረጥ ምርጫ ተሰጥቶታል ፡፡ ሀ ምርጫውን ከማድረጉ በፊት B ምን እንደሚሠራ ይተነብያል ፣ የ B ግምቶችም በእርግጠኝነት የተረጋገጠ ናቸው ፡፡ ቢ “ሀ” ሳጥን ብቻ ይወስዳል የሚል ከሆነ B በ $ 1,000,000 ን በሳጥን X ውስጥ ያደርገዋል። በዚህ መሠረት ፣ ሳጥኑ በውስጡ $ 1,000,000 እንዳለው ፣ ሀ በ ሳጥን X ን በመመርኮዝ $ 1,000,000 ወይም $ 1,001,000 ይቀበላል። X ሲደመር $ 1,000። በሌላ በኩል ፣ ቢ ሀ የ “X” ዶላር ከ $ 1,000 ጋር ይወስዳል የሚል ትንቢት ከተተነበየ ቢ በቦክስ X ውስጥ ምንም ነገር አያስቀምጥም ፡፡ በዚህ መሠረት በምርጫው ላይ በመመርኮዝ A ወይም 1,000 $ ወይም ምንም ይቀበላል ፡፡

የኒውስቢክ ተቃራኒ ሁለት ተጨባጭ ምክንያታዊ ትንታኔዎች ለተጫዋቹ የሚጋጩ መልሶችን ይሰጡታል የማመቻቸት ችግር-በሚጠበቀው የፍጆታ መላምት መሠረት አጫዋች ሀ የ ሳጥን X ብቻ መውሰድ አለበት ፣ ምክንያቱም የሚጠበቀው ኤክስ መውሰድ በጣም ከፍተኛ ነው ፡፡ በሌላ በኩል ፣ በስርዓት መርህ ስር ፣ ተጫዋች ሀ የቦክስ X እና $ 1,000 ን መውሰድ አለበት።

ፓራዶክስ (ወወትሮ እና ቤንፎርድ [21]) ባለው ምንባብ በተሻለ ተረድቷል-“… ..አዲስቢብ“ ኤክስ ብቻ ይወስዳል ”ብሏል ፡፡ እግዚአብሔርን የመሰለ ማንነትን ለምን መታገል? ሆኖም ኖzክ ‹ለሁሉም ሰው ማለት ምን መደረግ እንዳለበት ሙሉ በሙሉ ግልፅ እና ግልፅ ነው ፡፡ ችግሩ እነዚህ ሰዎች ተቃራኒውን ግማሽ ተቃራኒ አስቂኝ ነው ብለው በማሰብ ብዙ ሰዎች በችግሩ ላይ እኩል የሚያከፋፍሉ ይመስላል ፡፡

Pertርpertርት እና ቤንፎርድ የኒውcomb ችግር በእውነቱ ከተለያዩ ውጤቶች ጋር ሁለት የተለያዩ ጨዋታዎችን የሚወክል መሆኑን በመጥቀስ ፓራዶክስን ይፈታሉ ፡፡

በዚህ ክፍል ውስጥ የኒውcombን ችግር በእስረኞች አጣብቂኝ ውስጥ በማለፍ ልዩነቱን እናፈታለን ፡፡ ይህንን በማድረግ ፣ የኒውከስቢክ መፍትሔው በሁለት መንገዶች ሊመጣ ይችላል-የትብብር ያልሆነው (እንደ ሣጥን X ን እና $ 1,000 ን ይውሰዱ) የሚባለውን የመርህ መርህ በመጠቀም ፣ ወይም እንደ የትብብር መፍትሔው (ሣጥን X ብቻ ይውሰዱ) የሚጠበቀውን በመጠቀም ፡፡ የመገልገያ መላምት።

የሚከተለው ጨዋታ ለትንበያ ለ የክፍያ ሂሳብ ገንዘብ እንደሚሰጥ ቃል የገባ አንድ ሀብታም ተጠቃሚ አለ እንበል ፣ የሚከተለው ጨዋታ ውጤት ፦ A = [[$ 1,000,000 ፣ 0] ፣ [$ 1,001,000 ፣ $ 1,000]] እና B = [$ $ 1,000,000 ፣ $ 1,001,000 ] ፣ [0 ፣ $ 1,000]] ውስጥ ገብተዋል።

ቢ በትክክል ከተነበየ ፣ ቢ ምን ተጫዋች ኤ ያገኛል ፡፡ ግን ቢ በስህተት ከተተነበየ ቢ የ $ 1,001,000 ሲቀነስ ምን አገኘ 21።

ከ ፕሮፖዛል ኤክስኤክስኤክስ ፣ ተጫዋቾች A እና B በዚህ ጨዋታ ውስጥ በትብብር ይጫወታሉ ፡፡

እንደ ናሽ ከሆነ ተጫዋቹ የዋናነት መርሆውን በመጠቀም ችግሩን ይፈታል ፣ ትንበያውም እንደዛው ፡፡ ሁለቱም ትንበያ እና ተጫዋች በትብብር-ነክ ባልሆነው መፍትሄ ላይ ይሆናሉ-X ን ከ $ 1,000 በተጨማሪ ውሰድ ፡፡ ተጫዋቹ የሚጠበቀው የመገልገያ መላምት በመጠቀም ችግሩን ከፈታ ፣ ትንበያውም እንዲሁ ፣ እና ትንበያውም እና ተጫዋች በትብብር መፍትሄው ላይ ይሆናሉ-‹X ን ብቻ ውሰድ› በሁለቱም ሁኔታዎች ፣ የትንበያው ትንበያ

እና Sadowski [6]) ወይም አዲስ ዘዴዎች ተገልፀዋል ፣ ለምሳሌ ፣ tit-for-tat, correlated equilibria (Axelrod [3]; Aumann [1])) ፡፡

የ 21 ማስታወሻ የኒውሆቢን ችግር እንደ PD ችግር አድርጎ በመጥቀስ ፣ ትንበያው በኒውሆም ችግር ውስጥ የማይገኝ የግል ማበረታቻ ተሰጥቶታል ፡፡

እርግጠኛ ከ ፕሮፖዛል 13 ጀምሮ ፣ ተጫዋቾች ትብብር ያልሆነውን መፍትሄ አይጫወቱም ፣ ትብብር ሊወሰድ የሚገባው ግልጽ ስትራቴጂ ነው በኒውcomb ተስማምተናል ፡፡

ማስታወሻ በቁጥር 1 ውስጥ ግን ፣ ለትብብር-አልባነት ክልሉ በቸልታ ያንሳል ፡፡ ሰዎች በየትኛው ስትራቴጂ ላይ እኩል መከፋፈል ቢጀምሩ አያስገርመንም።

የእስረኞች ውድቀት ለ M-Persons ምስረታ ፡፡

የናሽ መፍትሄ በአጠቃላይ ኢኮኖሚያዊ ሚዛናዊ ሞዴሎችን እንዴት እንደሚፈርስ በተሻለ ለመረዳት ፣ የእስር ቤቱን እስረኛ አጣብቂኝ ለ M-Persons እናስችል ፣ እያንዳንዱ ተጫዋች የ 2 ስትራቴጂዎች አሉት ፣ ለ M 2.

በሁለትዮሽ ዛፎች በኩል የ M- ሰው ጨዋታውን እንገልፃለን ፡፡

ምስል 2 ለተጫዋች ሀ እስረኛው የመክፈያ ክፍያ ነው ፡፡ ዛፍ (2 ፣ 1) እንደ ወላጅ እና ተጫዋች ሀ (ተጫዋች 2) የሁለትዮሽ ዛፍ ነው ፡፡ የተጫዋቹን ለክፍያ ክፍያ ለማግኘት የወላጅ እና የልጆች ሚና ወደ ዛፍ (1 ፣ 1) ይቀይሩ። ለእስረኛው ችግር ፣ A2 ‹A12‹ A22 ‹A11

በመቀጠልም ዛፍ ያስበልጡ (M - 1 ፣ M - 2 ፣… ፣ 2 ፣ 1) ተጫዋች የኤን (M - 1) -Person ጨዋታ ፣ M 3. መጫወቻ ተጫዋች የየክፍያ ዛፍ (M ፣ M - 1 ፣… ፣ 2 ፣ 1) ተጫዋች የኤን ዛፍ (M - 1 ፣ M - 2 ፣… ፣ 2 ፣ 1) በሁለቱም ላይ ንዑስ ዛፎች እንዲሆኑ የወላጅ ተጫዋች ኤም ቅርንጫፎች

የ A12 ‹A22‹ A11 ‹A21› ዛፍ በዛፉ ውስጥ እስከሚቆይ ድረስ በቀኝ ንዑስ ዛፍ ላይ ያሉት የክፍያ ቁጥሮች የቁጥር እሴቶቹ በግራ ንዑስ ዛፍ ግራ ከሚገኙት ጋር ይለያሉ ፡፡

በመጨረሻም ፣ የተሰጠው ዛፍ (M ፣ M - 1 ፣… ፣ 2 ፣ 1) ለተጫዋች ኤ ፣ ዛፍ (1 ፣ M ፣ M - 1 ፣… ፣ 3 ፣ 2) ለተጫዋች B (ተጫዋች 2) ከፍተኛውን በማድረግ ወላጅ; ዛፍ (1, 1, M, M - 2,…, 1, 4) 3 ሁለተኛውን ከፍተኛ ወላጅ በማድረግ ፣… ፣ ዛፍ (3 ፣ 2 ፣ 1 ፣…, M - 2, M, M - 3] ) ለአጫዋች M - 2 ሦስተኛው ዝቅተኛ ልጅ ፣ ዛፍ (1 ፣ 1 ፣ 2 ፣… ፣ M - 1 ፣ M) ለተጫዋች M - 2 ሁለተኛውን ዝቅተኛ ልጅ በማድረግ ፡፡

ይህ የተጫዋቾች ክፍያዎችን መግለጫ ለ M- ሰው እስረኛው አጣብቂኝ የጨዋታ ጨዋታ መግለጫዎችን ያጠናቅቃል ፣ እያንዳንዱ ተጫዋች ደግሞ የ 2 ስትራቴጂዎች አሉት።

ቴዎሬም 14. ለ M- ሰው እስረኛ አጣብቂኝ ፣ M 2 ፣ የዋናነት መርሆውን በመጠቀም ፣ የናሽ መፍትሔ ለተጫዋቾቹ ስትራቴጂ 2 እንዲጫወቱ ነው።

ማረጋገጫ ፡፡ Theorem ለ M = 2 እንደሚይዝ ቀድሞውኑ እናውቃለን። ንድፈ ሃሳቡ ለ M - 1 ፣ ለ M በያዙት ግፊት መገመት ፡፡ 3. የሚያሳየው ሥነ-ምግባር ለኤም.

የተሰጠው ዛፍ (M ፣ M - 1 ፣… ፣ 2 ፣ 1) ለተጫዋች ሀ ፣ በግንባታ እና በግራ በኩል ያሉት ንዑስ ዛፎች ከዛፍ (M - 1 ፣ M - 2 ፣… ፣ 2) ፣ ፣ 1) ለተጫዋች 1 ፣ ዛፍ (M ፣ M - 1 ፣… ፣ 2) ለተጫዋች 2 ፣ ዛፍ (2 ፣ M ፣ M - 1 ፣… ፣ 4 ፣ 3) ለተጫዋች 3 ፣… ፣ ዛፍ (2 ፣… , M - 2, M, M - 1) ለተጫዋች M - 1. እነዚህ ንዑስ ዛፎች በወላጆች አንጓዎች ላይ መሰየሚያ ከመሰየም በስተቀር ለአጫዋቾች 1 ፣ 2 ፣… ፣ M - 1 ተመሳሳይ ናቸው። የእያንዲንደ ተጫዋች ስትራቴጂ 2 ስትራቴጂውን 1 በማንኛውም ሁኔታ በላቀ ሁኔታ እንደሚጠቀም ልብ ይበሉ ፡፡ በመግዛት ፣ የመግዛት መርህ በመጠቀም ተጫዋቾች 1 to M - 1 Strategic 2 ን ይጫወታሉ።

ስለዚህ ከዛፉ (1 ፣ 2 ፣… ፣ M - 1 ፣ M) ለተጫዋች M ፣ M ከ 1 ቢጫወት ፣ ለአጫዋቹ M ክፍያ b ነው (የዛፉ ሁለተኛው የቀኝ መስቀለኛ መንገድ) ሲሆን M ደግሞ የ 2 ፣ የሚከፈልበት ለተጫዋች M A22 ነው (የዛፉ የቀኝ መስቀለኛ መንገድ)። በዋናነት መርህ ፣ ከ A12 ‹A22› ጀምሮ ተጫዋች ኤም እንዲሁ ስትራቴጂውን 2 ይጫወታል ፡፡ QED

አሁን ማንኛውም የ A11 አይነት ክፍያ ከማንኛውም የ A22 ዓይነት የክፍያ ተከፋይ በጣም ይበልጣል እንበል; እና A21 = A11 + m ፣ ክፍያዎች A11 እና A21 በአጠገብ አንጓዎች ውስጥ ያሉበት

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የናሽ አቀራረብ ለመተባበር ግልፅ የሆነ መፍትሔ ቢኖርም እንኳ የትብብር መፍትሔውን “ጨዋታ ስትራቴጂ 1” መጫወቱን ከግምት ውስጥ አላስገባም ፡፡

በግራ እና በቀኝ ቅርንጫፎች ላይ ያሉት ንዑስ ዛፎች ከቅርፀት (M - 14 ፣ M - 1 ፣… ፣ 2 ፣ 2) ስለሆነ ለተጫዋቹ 1 ፣ ዛፍ () እናመሰግናለን ብለን መደምደም እንችላለን ፡፡ M - 1 ፣ M - 1 ፣… ፣ 2) ለተጫዋች 2 ፣ ዛፍ (2 ፣ M ፣ M - 2 ፣… ፣ 1 ፣ 4) ለተጫዋች 3 ፣… ፣ ዛፍ (3 ፣… ፣ M - 2 ፣ M ፣ M - 2) ለተጫዋች M - 1 ፣ በማነሳሳት ፣ የሚጠበቅበትን የመላምት መላምት በመጠቀም ፣ ተጫዋቾቹ 1 ወደ M - 1 ክፍያው የ A1 ዓይነት የሆነበትን ስትራቴጂ 1 ይጫወታል።

ስለዚህ ከዛፍ (1 ፣ 2 ፣… ፣ M - 1 ፣ M) ለተጫዋች M ፣ M ከ 1 ቢጫወት ፣ ለአጫዋች ወጭው (የዛፉ ግራ መስቀለኛ መንገድ ነው) ሲሆን M ደግሞ የ 2 ፣ የሚከፈልበት ተጫዋች M A21 = A11 + ሜ (የዛፉ ሁለተኛ ግራ መስቀለኛ መንገድ) ነው። ከ A11 ‹A21 ጀምሮ ፣ ተጫዋች ኤም ስትራቴጂ 2 ን ለመጫወት ይፈተን ይሆናል። ግን ከ A2 በላይ ለሆኑ ክፍተቶች ከ A11 ዓይነት ክፍያ ወደ መከፈል ሊያመራ በሚችልበት ጊዜ ከኤክስኤክስኤክስኤክስ ለ m ክፍሎች ለምን የመጫወት ስትራቴጂን ለምን ያጋልጣሉ?

በተጠበቀው የፍጆታ መላምት ፣ ተጫዋች M እንዲሁ ስትራቴጂ 1 ን መጫወት አለበት።

አጠቃላይ M-ሰው ጨዋታዎች።

በመጨረሻ ፣ ለጠቅላላው M-ሰው ጨዋታዎች Theorem 1 ን እናቀርባለን።

ለእያንዳንዱ i = 1 ፣ 2 ፣… ፣ ኤም. ስትራቴጂክ Givenክተር (j1 ፣ j2 ፣…, jM) በሚቻልበት እያንዳንዱ ተጫዋች ሊኖሩ የሚችሉ ስትራቴጂዎች ያሉበት M ተጫዋቾች ይኖሩኝ ፣j1j2… jM. Xi ለተጫዋች ድብልቅ ስትራቴጂ ይሁን ፣ ማለትም ፣ የት ላይ ስትራቴጂያዊ ሀ Σj xij = 1, xij 0 ፣ ሁሉም j ፣ እና let x = (xi, xi) የሁሉም ተጫዋቾችን ስልቶች ያመለክታሉ። የናሽ ችግር ይህ ነው-

የትኛውም ኢኤፒ (i | xi) ለተሰጠ ተጫዋች የሚጠበቀው ከፋይ ነው እናም ማጠቃለያው በ jk እና ከሁሉም k በላይ ከሆነበት።

ስትራቴጂ x * ከዚህ በላይ ለተጫዋቹ ችግር መፍትሔ ከሆነ * ስትራቴጂ x * የናሽ ሚዛን ነው ፡፡

ለእኛ አቀራረብ ፣ ፒj1, j2,…, jM ተጫዋች መሆን የሚጠበቅበት እኔ ተጫዋች kk jk ፣ ለሁሉም jk እና ለሁሉም k የonን ኒማንነ-ሞርገንስተርን የሚገመት የፍጆታ ፅንሰ-ሀሳብ የተጫዋች i ግብ የሚጠበቀው ክፍያ ከፍ እንዲል ማድረግ ነው-

ማጠቃለያ ከሁሉም የ jk እና ሁሉም k ላይ በሚሆንበት ቦታ።

ይግለጹ

የት - ጂ ይጫወታል-i ማለት ነው ተጫዋቹ k ይጫናል እና ማጠቃለያ ከሁሉም የ jk በላይ ሲሆን ለሁሉም ማለት ነው ፡፡ i.

ቴዎሬም 15. ከታች ያሉት ችግሮች (13) ከችግሮች (11) ጋር እኩል ናቸው:

ማረጋገጫ ፡፡. በቃላት ፣

ማጠቃለያ ከሁሉም rk በላይ በሆነበት ቦታ ፣ ለማንኛውም k። i.

የ (14) አመላካች ድግግሞሽ ፒ ነው (i ተጫወትኩ) ፡፡ ስለሆነም ፣

ጀምሮ Σ ፓይ (እኔ ይጫወታል ji) = 1 እና ፒ (እኔ እጫወታለሁ ji) 0 ለሁሉም Ji ፣ እሱ የሚከተለው ተጫዋች እስትራቴጂን ይጫወታል [arg maxji EP (i | i ተኪ Ji)]። QED

ለተጫዋች የተሻለውን ስትራቴጂ የማግኘት ዘዴ እንደሚከተለው ነው-ለተጫዋች ማንኛውም ጥንድ ስትራቴጂ r እና ስትራቴጂ s እላለሁ ፣ በተጫዋቾች ላይ ይከፍላሉ የሚጠበቅባቸው የክፍያ መጠን ሁኔታዎችን ያስሉ ወይም r ወይም s እኩል እጫወታለሁ . ይህ ሁኔታዊ ሊሆን የሚችል ቦታን ወደ 2 VNM ክልሎች የሚከፋፈል ግድየለሽነት ወለልን ይገልጻል። የምርጫ ስትራቴጂ r ስለሆነ ሌላ የ VNM ክልል ደግሞ r የሚል ምልክት ይደረግበታል ፣ ምክንያቱም የምርጫው ስትራቴጂ s ነው።

ከላይ ከተሰጡት ስሌቶች በኋላ ፣ እያንዳንዱ የ VNM ክልል የተለያዩ ስትራቴጂዎች ሲኖሩ ብዙ ጊዜ ምልክት ይደረግባቸዋል ፡፡ ለማንኛውም ለተሰጠ የ VNM ክልል ውስጥ ከሁለቱ ሁለት መሰየሚያዎችን አንዱን ይውሰዱ እና በዚህ ሁለት መሰየሚያዎች በተሰየመ የፍላጎት ገጽ ላይ በመመርኮዝ አንዱን ያስወግዱ ፡፡ እያንዳንዱ የ VNM ክልል አንድ መለያ ብቻ ሲኖር ሂደቱ ይጠናቀቃል።

አጠቃላይ የ 2- ሰው ጨዋታዎች.

ተጫዋች ኤ ሀ ስልቶች ይኖሩአቸው Ai ፣ i = 1 ፣ 2 ፣… n1 እና ተጫዋች ቢ እስትራቴጂዎች ቢ ፣ j = 1 ፣ 2 ፣… n2። የተጫዋቾቹ ዕድል በእኩልነት ገለልተኛ ነው ብለው ያስቡ ፡፡ ችግር (13)

ስለሆነም የ VNM ክልሎች በ convex ፖሊቶፖች ይገለጻል-

በ (16) ውስጥ እንደሚታየው ፣ ለጠቅላላው የ 2- ሰው ጨዋታ የተቀመጠውን መፍትሄ መፈለግ ቀጥተኛ ነው ፡፡ ለምሳሌ ፣ የናሽ ሚዛን ባለበት ቦታ ላይ ከሁለት ሺህ ዓመት ዕድሜ በላይ የሆነውን የሮክ-ወረቀት-ቁርጥራጭ ጨዋታዎችን ይመልከቱ-በ ‹33%› ይሁንታ ላይ ማንኛውንም ስልት ይጫወቱ-

ስትራቴጂ A1 ወይም B1 (Rock) ወደ ስትራቴጂ A2 ወይም B2 (ወረቀት) ወደ ስትራቴጂ A3 ወይም B3 (ቁርጥራጭ) ወደቀ ፡፡

ለተጫዋች ኤ ፣ በአጠቃላይ እኛ 0 አለን ፣ pA (ቢጂ) 1,

ይህም ወደ

እና በተመሳሳይ መልኩ ለተጫዋች ቢ

ለዚህ ጥንታዊ ጨዋታ አዲስ ስትራቴጂ ምን ይመስላል የሚባለው የእርስዎ ተቃዋሚ ቢበዛ በ 33% እና በወሲብ ቁርጥራጮች ቢያንስ የ 33% ይሁንታ ባለው ወረቀት ይጫወታል ብለው ካመኑ ዓለት ጨዋታ ይጫወታል ፤ ተፎካካሪዎ ቢያንስ በ 33% ይሁንታ እና በመጠን ቢያንስ የ 33% ይሆን ይሆናል ብለው የሚያምኑትን እስክሪን ይጫወታል ብለው ካመኑ ወረቀት ያጫውቱ ፤ ሌላ ቅርፊቶች ይጫወታሉ22።

የ 3- ሰው ጨዋታዎች እያንዳንዱ ሰው የ 2 ስልቶች ያሉትበት።

እያንዳንዱ ተጫዋች ኤ ፣ ቢ እና ሲ የ 15 ስትራቴጂዎች Ai ፣ Bi ፣ Ci ፣ ለ i = 3 ፣ 2 በቅደም ተከተል ለ 1 ሰው ጨዋታ የተቀመጠውን መፍትሄ ለማግኘት Theorem 2 ን እንጠቀም ፡፡

የተጫዋቾቹ ዕድል በእኩልነት ገለልተኛ ነው ብለው ያስቡ ፡፡ ለተጫዋች ኤ ፣ ቀመር (13) ነው።

እና በተመሳሳይ ሁኔታ ለተጫዋቾች ቢ እና ሲ Theorem 15 ን በመጠቀም መፍትሄው በ ይገለጻል:

ከላይ ያለውን ለባሮ-መጨናነቅ ጨዋታ እንጠቀም ፡፡[21]:

ተጫዋቹ ቤት ከሆነ ፣ ክፍያው 1 ነው ፣ ተጫዋቹ ለብቻው በርሜሉ ብቻ ከሆነ ፣ ክፍያው 0 ነው ፣ ተጫዋቹ ከሌላ ሰው ጋር ባር ላይ ከሆነ ክፍያው 2 ነው ፣ ሌላ ፣ ክፍያው -1 ነው።

አለን: A111 - A211 = -2, A112 - A212 = A121 - A221 = 1, A122 - A222 = -1, ስለሆነም የ VNM ክልል A1 ክልል ነው -3pA (B1) pA (C1) + 2pA (1pA) (C2) - 1 ≥ 1, ወይም ተመጣጣኝ ክልሉ።[22] pA (B1) ≥ (1 - 2pA (C1))) / (2 - 3pA (C1)). በተመሳሳይ ፣ የ VNM ክልል B1 የክልሉ pB (A1) ≥ (1 - 2pB (C1)) / (2 - 3pB (C1)) እና VNM ክልል C1 ነው የክልል pC (B1) ≥ (1 - 2pC (A1)) / (2 - 3pC (A1)). የናሽ ሚዛን ፒ (ሀ) = p (B) = p (C) = 1 እና p (A) = p (B) = p (C) = 1 / 3 ናቸው ፡፡

ዕውቅና።

በዚህ ጽሑፍ ዝግጅት ውስጥ Al Alth እና ቶድ ዴቪስ ላበረከቱት ጠቃሚ ጠቃሚ ምክር እና መመሪያ ማመስገን እንወዳለን ፡፡

የግርጌ ማስታወሻዎች

[1] በቀላልነት ፣ መገልገያ ከፋይ (Starmer [18]) ቀጥተኛ ሥራ ነው የሚል የጋራ ግምት እናደርጋለን። ስለሆነም የሚጠበቀው የፍጆታ ዋጋ ከፍ ማድረግ የሚጠበቀውን ክፍያ ከፍ ከማድረግ ጋር ተመሳሳይ ነው።

[2] ለኛ የጨዋታዎች የእኛ የ Bayesian አካሄድ ከቀዳሚው የ Bayesian ሥራ (ለምሳሌ ፣ Acevedo እና Krueger [4] ፣ Aumann [1] ፣ Daley and Sadowski [6]; McKelvey and Palfrey [12]; Quattrone and Tversky [15]]) ከሌላው አቀራረቦች በተቃራኒ የእኛ አቀራረብ የአስቀድሞ ሁኔታዊ ግምቶች ባልታሰበ መልኩ መፍትሄያችን ሁልጊዜ የሚያረካውን ወደሚጠበቀው የፍጆታ መላምት (ሳይታለም) ያለምንም ችግር ይነጋገራሉ።

[3] ተቺዎች እንደሚሉት “ምክንያታዊ ተጨባጭ ተጫዋቾች ሁኔታዊ ግምቶችን ከግምት ውስጥ አያስገቡም አያስቡም… የዝናብ ይሆንታ ዕድል p መሆኑን የሚያውቅ ተወካይ አስቡት ፡፡ የእርስዎ ‹መፍትሔ› ዝናብ ከዘመና ጃንጥላው ጃንጥላ መተው ያለበት ይመስላል ›፡፡
ቴዎሬም 1 የቀድሞው ትችት ያልተረጋገጠ መሆኑን ያሳያል ፡፡ የኋለኛውን ትችት በተመለከተ ፣ EP (ወኪል | ጃንጥላ ያቅርቡ) = ፒ ፣ እና ኢ.ፒ. (ወኪል | ጃንጥላ አያመጡ) = 1 - p. መፍትሄችን ከዚያ የሚሆነው-p 1 / 2 ከሆነ ጃንጥላ ለማምጣት ፤ p ≤ 1 / 2 ከሆነ ጃንጥላ አያመጡ።

[4] የ (2) ሁኔታዊ ይሆንታዎች በፎህ [17] ውስጥ ያለውን መርህ አይጥሱ-“ማንኛውም በቂ የቁጥር ውሳኔ ሞዴል በግልጽ ለተግባሮች ማንኛቸውም ተጨባጭ ግምታዊ ግምቶችን በግልፅ ወይም ሙሉ በሙሉ መያዝ የለበትም… ስልቶች እንጂ የራሱ ስልቶች አይደሉም።

[5] ይህ Theorem ለአንድ ለ M-ሰው ጨዋታዎች አጠቃላይ ይሆናል ፡፡

[6] በተጫዋቾቹ መካከል ምንም ምልክት የለም ፡፡

[7] ገለልተኞቹ ተለዋዋጮች ፒኤ (B1 | A1) እና ፒኤ (B2 | A2) በከፍተኛ ማጉያ ችግር ውስጥ እንደተወሰዱ ይታሰባል ፣ የማይቀየር ምዝገባን ያስወግዳል ቀለል ያለ (እንደ ናሽ ከሚገምተው ፒ (B1) ጋር ለተጫዋች የተሰጠው) ሀ የእሱ ማጎልበት ችግር ምስረታ ላይ)።

[8] እኩልነት (5) ለችግሩ (1) በተመሳሳይ ሁኔታ የኳራዳዊው ቀመር ለጠቅላላ ባለአራትዮሽ እኩልታ መፍትሄ ነው።

[9] የአጫዋቹ ቀዳሚ ቅድሚያዎች እንደ የአየር ሁኔታን በከፊል በከፊል በሚታዩ የዘፈቀደ ክስተቶች ላይ ጥገኛ ሊሆኑ ይችላሉ። በቅድሚያ ጥቅም ላይ የሚውሉት በ Bayesian ተጨዋቾች የተጫወቱ ያልተሟላ መረጃ በጨዋታዎች ውስጥ ከሆነ እባክዎን ይመልከቱ (Harsanyi [10]) ፡፡

[10] ይህ አጠቃላይ መፍትሔ እንደ ልዩ መፍትሄዎች የናሽ ሚዛን ይይዛል ፡፡ ገላጭ ከሆነው ናሽ መፍትሄዎች በተቃራኒ የእኛ መፍትሔ ሁለት-የታዘዙ ምክንያታዊ-ተስፋዎች ንጹህ ስልቶች ናቸው ፡፡ በተጨማሪም ፣ በስህተት ከሆነ ተጫዋች ሀ በ VNM ክልል A1 ውስጥ ነው እናም A2 ን ይጫወታል ፣ Corollary 2 ተጫዋች ሀ ዝቅተኛ የሚጠበቀው ክፍያ ያገኛል ይላል።

[11] በአንድ ናሽ በተመጣጠነ ሚዛን የአንድ ተጫዋች ስትራቴጂ የሌላውን ተጫዋች የክፍያ ተግባር በማወቅ ላይ የተመሠረተ መሆኑ ትኩረት የሚስብ ነው ፡፡

[12] ዜሮ ምልክቶች በሠንጠረ in ውስጥ ችላ ተብለዋል ፣ ምክንያቱም እነዚህ ጉዳዮች እየተበላሹ ስለሆኑ አንድ ተጫዋች በሁለቱ ስልቶች መካከል መምረጥ አለመቻል ነው ፡፡ ደግሞም ፣ እያንዳንዱ የናሽ ሚዛን በትክክል በአራት ረድፎች ውስጥ እንደሚታይ ልብ ማለት ትኩረት የሚስብ ነው ፡፡

[13] የሚቀጥሉት የ 3 ምሳሌዎች በጨዋታ ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ ለተማሪዎች እንደ የሥነ-ልቦና ዘዴ ሊያገለግል በሚችል መልኩ ከ (ዳቪስ [7])) የተወሰዱት ፡፡ ሠንጠረዥ 1 እዚህ የተጠቀሱትን የ '2- ሰው ጨዋታ ምሳሌዎች ሁሉ የናሽ ሚዛን በፍጥነት ለማግኘት ሊያገለግል ይችላል ፡፡

[14] የ A እርምጃዎች የ B እርምጃዎች የድርጊቶች ምርጫ ላይ ተጽዕኖ አያሳድሩም። ይህ የሆነበት ምክንያት የ A እምነቶች ከ B እምነቶች ጋር ያልተዛመዱ በመሆናቸው ነው ፡፡ በሌላ በኩል ፣ እምነቶች የተስተካከሉ ከሆኑ የሁለቱም የተጫዋቾች ግምቶች ከ 50% ጋር እኩል መሆን አለባቸው ፣ ይህ ካልሆነ የተጫዋቾቹ ግምቶች ሁለቱም> 50% ናቸው ቢ ቢ እስትራቴጂን 2 (ጅራቶች) ይጫወታል ፣ በዚህም ስትራቴጂ 1 ን ይጫወታል ፡፡ (ራሶች) ለ ሀ ትክክለኛ የታዘዘ ሊሆን አይችልም ፡፡ እንዲህ ከሆነ ‹የ” ይሁንታ ‹50%› እና B ይሆንታ ‹50%› ነው ፣ B ደግሞ ጭንቅላቶችን እንደሚጫወት ያውቃል ፣ ስለሆነም መጫወት ሀ ለ ትክክለኛ ማዘዣ ሊሆን አይችልም ፡፡ ወዘተ. ልዩ መፍትሔው የናሽ ሚዛን ነው-በዘፈቀደ ለሁለቱም ይጫወቱ ፡፡

[15] ሁለቱም ተጫዋቾች ሌላ ተጫዋች ቀጥታ (ወይም ማንሸራተት) የሚሄድ ከሆነ ፒኤን (B1) = pB (A1) = 0 ወይም 1 ተመጣጣኝነት ትዕይንት ነው ፡፡ በተቃራኒው ፣ p (A1) = p (B1) = 0 ወይም 1 የናሽ ሚዛን መሆን አይችሉም-ቢ በቀጥታ (ወይም ከተቀየረ) ፣ A ይቀልጣል (ወይም ቀጥ ብሎ ይሄዳል)።

[16] ምንጮች-የጦር መሳሪያዎች ቁጥጥር ማህበር ፣ የአሜሪካ ሳይንቲስቶች ፌዴሬሽን ፣ በፋይስ ቁሳቁሶች ቁሳቁሶች ዓለም አቀፍ ፓናል ፣ የአሜሪካ መከላከያ ክፍል ፣ የአሜሪካ የውጭ ጉዳይ መሥሪያ ቤት እና የስቶክሆልም ዓለም አቀፍ የሰላም ምርምር ተቋም ፡፡

[17] ከጥፋት ውሃ እና ከዴሬስ የመጀመሪያ ጽሑፍ ጀምሮ ስለዚህ ጉዳይ በሺዎች የሚቆጠሩ ጽሑፎች ታትመዋል ፡፡ የጉግል ምሁር “እስረኛ” አጣብቂኝ ውስጥ ገባ ”የሚለው ፍለጋ በዚህ ጽሑፍ ላይ የ 104,000 ውጤቶችን ያስገኛል ፡፡ እባክዎን ያማክሩ (ኩሃን [14])።

[18] ስለዚህ ፣ ተጫዋቾች የትብብር መፍትሔውን አይጫወቱም።

[19] ባላጋራዎ በዘፈቀደ የሚጫወት ከሆነ የእርስዎ ተቀዳሚ ባላጋራዎ ከዚህ ጨዋታ ቀደምት ተዋንያን ተጽዕኖ ሊኖረው ይችላል።

[20] ቀመር ለ M- X ሰዎች ፣ ለ M> 3 ሊራዘም ይችላል ፡፡

[21] ይህ ጨዋታ በኤል ፋrol ባር ችግር (አርተር [5]) ላይ የተመሠረተ ነው።

[22] የግዴለሽነት ቦታ ነጥቦችን (ፒኤ (C1) ፣ PA (B1)) = (0.5 ፣ 0) ፣ (0.33 ፣ 0.33) ፣ (0 ፣ 0.5) የሚያልፍ ባለአንድ አቅጣጫዊ ኩርባ ነው።

ማጣቀሻዎች

[1] Adamuman RJ (1974) በዘፈቀደ ስልቶች ውስጥ የትርጉም እንቅስቃሴ እና ትስስር። ጆርናል የሂሳብ ኢኮኖሚክስ 1: 67-96

[2] Aumann RJ, Maschler M (1995) ያልተሟላ መረጃ በተደጋገሙ ጨዋታዎች. MIT ፕሬስ ፣ ካምብሪጅ ለንደን።

[3] Axelrod R (1984) የትብብር ዝግመተ ለውጥ ፡፡ መሰረታዊ መጽሐፍት ፡፡

[4] Acevedo M, Krueger JI (2005) በእስረኛው ዲilemma ውስጥ ተጨባጭ ማስረጃ. የአሜሪካን ጆርናል ሳይኮሎጂ 118: 431-457

[5] አርተር WB (1994) ግላዊ ማመዛዘን እና የደመቀ ልምምድ። የአሜሪካ ኢኮኖሚያዊ ግምገማ 84: 406-411

[6] Daley B, Sadowski P (2017) አስማታዊ አስተሳሰብ-የውክልና ውጤት ፡፡ ሥነ-መለኮታዊ ኢኮኖሚክስ 12: 909-956 24 ይህ ጨዋታ በኤል ፋሮል ባር ችግር (አርተር [5]) ላይ የተመሠረተ ነው። 25 የግዴለሽነት ቦታ ነጥቦችን (ፒኤ (C1) ፣ pA (B1)) = (0.5 ፣ 0) ፣ (0.33 ፣ 0.33) ፣ (0 ፣ 0.5) የሚያልፍ ባለአንድ አቅጣጫዊ ኩርባ ነው።

[7] ዴቪስ ቲ (2004) የመገልገያ ፅንሰ-ሀሳብ እና የጨዋታ ፅንሰ-ሀሳብ። የንግግር ማስታወሻዎች

[8] Garcia CB, Zangwill WI (2017) ለጦርነት ወይም ለሰላም አዲስ አቀራረብ። የስራ ወረቀት

[9] Garcia CB, Zangwill WI (2018) Dominance ፣ የሚጠበቅ መገልገያ እና የእስረኛው ዲሊማ። የስራ ወረቀት

[10] Harsanyi J (1967) ጨዋታዎች በ “Bayesian” ተጫዋቾች I - III የተጫወቱ ያልተሟላ መረጃ ያላቸው ጨዋታዎች ፡፡ ጄ ማኔጅመንት ሳይንስ 14 (3): 159-182

[11] ካዳንe JB ፣ Larkey PD (1982) ርዕሰ ጉዳይ ፕሮባብሊቲ እና የጨዋታዎች ቲዎሪ ፡፡ የማኔጅመንት ሳይንስ 28 (2): 113-120

[12] McKelvey RD, Palfrey TR (1995) መደበኛ ምላሽ ጨዋታዎች ሚዛናዊ ሚዛን። ጨዋታዎች እና ኢኮኖሚያዊ ባህሪ 10: 6-38

[13] Jaynes ET (1968) የቀደሙ ዕድሎች ፡፡ የ IEEE ግብይቶች በስርዓት ሳይንስ እና ሳይበርኔትኪክስ 4 (3): 227-241

[14] Kuhn S (2017) የእስረኞች ዲሊማ ፡፡ እስታንፎርድ ኢንሳይክሎፒዲያ የፍልስፍና።

[15] Quattrone GA, Tversky A (1984) የ Causal Versus Diagnostic Conceencies: ራስን በማታለል እና በድምጽ ሰጪው ቅ Illት ላይ ፡፡ ጆርናል ስብዕና እና ማህበራዊ ሳይኮሎጂ 46: 237-248

[16] Skyrms B (2004) Stag Hunt እና የማኅበራዊ አወቃቀር ዝግመተ ለውጥ. ካምብሪጅ ዩኒቨርሲቲ ፕሬስ ፣ ካምብሪጅ።

[17] Spohn W (1977) ሉሴ እና ካንትሬዝ Savage የውሳኔ ሞዴልን በእውነት ያመነጫሉ። Erkenntnis 11: 113-134

[18] Starmer C (2000) ባልተጠበቁ የፍጆታ ፅንሰ-ሀሳቦች ውስጥ የተደረጉ እድገቶች - አደጋ ላይ የወደቀ ገላጭ ገላጭ ፅንሰ-ሀሳብ ፍለጋ። ጆርናል ኢኮኖሚያዊ ሥነ-ጽሑፍ 38: 332-382

[19] Sugden R (2005) ኢኮኖሚክስ መብቶች ፣ ትብብር እና ደህንነት ፡፡ ፓልግራቭ ማክሚላን ፣ የ 2 እትም ፦ 132።

[20] Von Neumann J, Morgenstern O (1953) የጨዋታዎች እና ኢኮኖሚያዊ ባህርይ ቲዎሪ. ፕሪንስተን ዩኒቨርሲቲ ፕሬስ ፣ ኒው ጀርሲ።

[21] Wolpert DH, ቤንፎርድ ጂ (2011) የኒውcomb's ፓራዶክስ ትምህርት። ሲንሴክስ 190: 1637-164